黄钟大吕十八律

淳熙十四年丁未（1187年）正月，蔡元定着就《律吕新书》。《律吕新书》全书2卷，上卷《律品本源》10章，下卷《律品辨正》10章。主要探讨音律中旋宫问题，提出了十八律的理论。

什么是“律”，即“律度量衡”，就是乐音的高低、物件的长短、物体的大小、物质的轻重，必须要有个测定的统一标准，不然的话，人们的社会活动就会乱了套。确定律主要是为了“乐”的需要，是不可缺少的。确定共同遵守的标准音高就是定律。历代皇帝都十分重视统一乐律，把它摆在“律度量衡”之首。

在明代朱载育发明“新法密律”(即十二平均律)之前，我国主要采用“三分损益律”的方式来推算，“三分损益律”在我国沿用了两千多年。但是，三分律的缺陷也是很明显的，那就是律生十二次后，不能还原到第一律，这是因为按三分律生出的十二律，按高低排列后，各律之间长短参差不齐造成的。打个比方：如蒙上眼睛让你原地转圈，开始面朝某一方向，如正南方，心里数一圈、二圈……转了十二圈后停住，发现已不面朝正南了，因为尽管圈数设错，但脚步有长有短，不是走过了头，就是还不到位。这种转法，不管你是从哪一个方面转起，都回不到原位置了。这问题使历代律学家大伤脑筋。有的人用继续推算生下去的方法，以求缩小差数，力求接近第一律，如“六十律“到”三百六十律“等等。但他们还是没有最后消灭这种音差，反而造成许多麻烦，实践上也行不通。

蔡元定在仔细研究了前人的教训后，发现在律生十二次之后，再生六律就可以停止了，以原十二律为主，后六律为变律，排列在那些与邻律之间有较大音差的各律之间，调整长短不齐的关系。从理论上讲，不论从十二律的任何一律开始旋宫(转调)。经过改用变律来调整，都可以顺当进行，又符合三分律的特点。

宝佑三年乙卯（1255年）五月六日，参知政事蔡杭向宋理宗进其祖父蔡元定《律吕新书表》。八月二日，宋理宗诏书：“端明殿学士太中大夫同签书枢密院兼同提举编修敕令同提举编修经武要略建阳县开国伯食邑七百户实封一百户蔡杭，故祖赠迪功郎，谥文节公蔡元定，卓绝之才，精诣之识，贯天地人物之理，博学而无所成名，纳罟获陷阱之中，无入而不自得。……可特赠太子少傅。”

淳熙十五年戊申（1188年），右丞相赵汝愚，秘书监杨万里，太常卿尤袤三人举荐蔡元定入朝为官，蔡元定都以有病辞，决心隐居西山以为终老之计。

杨万里称赞他：“性质豪迈，器识宏深。道德文章足以仪刑于当时，着书立言足以垂范于后世。今之贤士大夫皆仰其道德之光，成人小子俱蒙其造化之力。”尤袤称赞他：“资禀颖异，克养完粹，守份安贫，有经世济物之才，有制礼作乐之具。”

这年，蔡元定帮助朱熹重修《周易本义》和《四书集注》，《周易本义》是一部以卜筮为主要内容的着作，九月，由蔡元定刊刻于莒口后山。

淳熙十六年己酉（1189年）三月，在麻沙作完成《皇极经世指要》，并自序。《皇极经世指要》是一部对邵雍学术的全面而明晰的概括的着作。

至此，宋孝宗淳熙年间，从1175年至1189年，蔡元定共完成了《阴符经解》、《大学说》、《大衍详说》、《共范解》、《潜虚指要》、《气运节略》、《易学启蒙》、《律吕新书》、《皇极经世指要》等着作。